Тестирование верстки нужно проводить в статике после завершения задачи по верстке и на готовом сайте после завершения разработки.
Если в ТЗ не оговорено обратное, то вся верстка тестируется в двух последних версиях всех популярных браузеров, а так же на мобильных устройствах(телефон, планшет). Желательно и iOS, и Android, хотя допускается, что единомоментно будет сложно найти и то, и другое. Допустимо тестировать адаптивность с помощью инструментов разработчика в десктопных версиях браузеров.
Если разработка велась по техническому заданию, то в первую очередь протестировать на соответствие ТЗ.
Необходимо протестировать интеграцию со всеми внешними системами. При выполнении этого пункта руководствуемся ТЗ, исходной задачей на разработку, комментариями разработчика и/или здравым смыслом.